三角形の面積はsinで秒殺！「なぜ？」がわかる図解で公式を完全マスター

この記事を書いた人

ヨビノリたくみ

数学解説YouTuber / 元・大手予備校講師

数学が苦手な高校生に向けて「なぜ？」を解消するビジュアル解説を発信。YouTubeチャンネルでは、10万人以上の生徒の「わからない」を「わかる！」に変えてきた。モットーは「数学が苦手なのは、君のせいじゃない。教え方の問題だ」。著書に『難しい数式は図で考えよう』がある。

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高校の数学で突然現れるsinを使った面積公式。「S = 1/2 bc sinA」って、なんでこんな式になるの？と混乱していないかな？この記事は、そんな君のために書きました。結論から言うと、この公式は中学で習った「底辺×高さ÷2」の進化版なだけ。この記事を読めば、たった3分でその「なぜ？」がスッキリ解消し、次のテストで自信を持って問題を解けるようになります。

「底辺×高さ÷2」じゃダメなの？高校数学で君が最初にぶつかる壁

「わかる！数学」講師のたくみです。僕が予備校で教えていた時、たくさんの高校生からこんな質問を受けました。「先生、なんで面積の公式がもう一つあるんですか？中学の公式じゃダメなんですか？」と。

君も同じように感じているかもしれないね。その気持ち、すごくよくわかります。

中学校で習う三角形の面積公式「底辺×高さ÷2」は、とてもシンプルで分かりやすい公式です。しかし、高校の数学、特に「図形の計量」という分野では、“高さがわからない問題”が普通に出てきます。例えば、山の高さや建物の長さを測りたいとき、地面にメジャーを這わせることはできても、空中に浮かぶ頂点までの「高さ」を直接測ることはできませんよね。

高校数学では、このように「直接測れない長さ」を、わかっている「辺の長さ」と「角度」から計算で求める、という新しいステージに進みます。君が今ぶつかっている壁は、まさにその新しいステージへの入り口なんです。でも大丈夫、今日の話を聞けば、高さがわからない問題が、むしろラッキー問題に思えてくるから。

【図解】sinの正体は「高さ」製造マシンだった！中学公式とのつながり

では、いよいよ本題です。なぜsinが出てくるのか、その謎を解き明かしましょう。

結論から言うと、高校で習う面積公式 S = 1/2 bc sinA は、中学校で習った面積公式 面積 = 1/2 × 底辺 × 高さ の応用版にすぎません。具体的には、中学公式の「高さ」の部分を、三角比のsinを使って表現し直しているだけなんです。

この関係性を理解するために、まずどんな三角形でも、一つの頂点から向かいの辺にまっすぐ垂線を下ろせば、直角三角形を2つ作れることを思い出してください。三角比sinは、この直角三角形でだけ使える強力なツールです。

直角三角形において、sin（サイン）は「斜辺の長さに対する、高さの比率」を意味します。つまり、sinA = 高さ / 斜辺 という関係が成り立ちます。

この式を少し変形して、両辺に「斜辺」を掛けてみましょう。すると、「高さ = 斜辺 × sinA」という式が出来上がります。

これが魔法の正体です。この「斜辺 × sinA」という計算で、今までわからなかった「高さ」を求められるようになったのです。

あとは、おなじみの中学公式「面積 = 1/2 × 底辺 × 高さ」の「高さ」の部分に、今作った「斜辺 × sinA」を代入してみましょう。これで、見慣れた高校の面積公式「S = 1/2 × 底辺 × 斜辺 × sinA」が完成します。

✍️ 専門家の経験からの一言アドバイス

【結論】: 公式の成り立ちを一度でも自分で図に描いてみてください。

なぜなら、この点は多くの人が見落としがちで、ただ公式を暗記しようとして失敗するからです。数学が苦手だった生徒ほど、一度自分の手で図を描き、補助線を引いて「あ、本当だ。高さが『斜辺×sinA』になる」と体感することで、記憶に深く刻まれます。この「なるほど！」という体験が、あなたの成功の助けになれば幸いです。

テストで満点を取るための3ステップ実践ガイド

公式の意味がわかったら、次はテストで実際に使えるように練習しましょう。sinを使った面積公式の問題は、次の3つのステップで考えれば、誰でも確実に解くことができます。

【例題】
△ABCにおいて、AB = 5, AC = 4, ∠A = 60° のとき、△ABCの面積Sを求めよ。

Step 1: 「2辺とその間の角」を探す

まず問題文や図を見て、「2つの辺の長さ」と「その2つの辺に挟まれた角の大きさ」が分かっているかを確認します。この3点セットが、sinの面積公式を使うための「合言葉」です。

今回の例題では、「辺AB=5」「辺AC=4」そして、その2辺に挟まれた「角A=60°」が分かっています。これで合言葉が揃いました。

Step 2: 公式に数字を当てはめる

合言葉が見つかったら、あとは公式 S = 1/2 bc sinA に、わかっている数字をそのまま当てはめるだけです。

• b → 4
• c → 5
• A → 60°

なので、式は S = 1/2 × 4 × 5 × sin60° となります。

Step 3: 正確に計算する

最後に、計算を実行します。sin60° の値は √3 / 2 ですね。（この値は覚えておく必要があります！）

S = 1/2 × 4 × 5 × (√3 / 2)
S = 1/2 × 20 × (√3 / 2)
S = 10 × (√3 / 2)
S = 5√3

よって、答えは 5√3 となります。

どうでしょう？この3ステップで考えれば、どんな問題も怖くありません。

📊 比較表
表タイトル: 三角形の面積問題を解くときの思考チェックリスト

よくあるギモンに答える！三角比Q&Aコーナー

最後に、君が疑問に思うかもしれない点について、いくつか先回りして答えておきますね。

Q1. cos（コサイン）や tan（タンジェント）は面積を求めるのに使わないの？

A1. 三角形の面積を直接求める公式では、基本的にsinだけを使います。cosやtanにもそれぞれ役割があり、例えばcosは余弦定理という、辺の長さを求めるための別の公式で大活躍します。それぞれの三角比に得意な役割分担があると覚えておきましょう。

Q2. 3辺の長さしか分かっていない時はどうするの？

A2. 良い質問ですね。その場合は、まず余弦定理を使って、どれか一つの角のcosの値を求めます。そして、「sin²θ + cos²θ = 1」という関係式を使ってsinの値を算出し、そこから面積公式に持ち込むのが王道の解き方です。少し手順は増えますが、やっていることは同じです。

まとめ & CTA (行動喚起)

もう一度、今日のポイントを振り返りましょう。

• 高校で習うsinの面積公式は、中学で習った「底辺×高さ÷2」の進化版。
• sinの正体は、直接測れない「高さ」を計算するための便利な道具だった。
• テストで問題を見たら、まずは「2辺とその間の角」のセットを探すこと。

これで君もsinマスターだ。もう公式を丸暗記する必要はありません。意味が分かっていれば、たとえ公式を忘れても、自分で図を描いて導き出せるはずです。それが、本当の意味で「わかった」ということです。

さっそく、教科書の練習問題を1問解いてみよう！きっと、今までとは世界が違って見えるはずだ。

[参考文献リスト]

• 高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 – 文部科学省
• 各種高等学校数学Ⅰ教科書